Schéma d'Euler : $$\begin{cases} Y_{n+1}=Y_n+\Delta t F(Y_n)\\ Y_0\text{ donné}\end{cases}$$
(Equation différentielle)
Lien entre méthode de calcul de solution d'une équation différentielle et méthode numérique d'intégration : $$\int^{t_{n+1} }_{t_n} Y'(t)\,dt= Y(t_{n+1})-Y(t_n)=\int^{t_{n+1} }_{t_n} F(Y(t))\,dt$$
(Méthodes d’intégration numérique)
Méthode d’Euler explicite
Méthode d’Euler implicite
Méthode de Crank-Nicolson
Méthode de Heun
Théorème :
Soit :
- \(F\in\mathcal C^1({\Bbb R},{\Bbb R})\) et \(Y_0\in{\Bbb R}\)
- \((Y,]T_{min},T_{max}[)\) la solution du problème de Cauchy
- \(0\lt \Delta t\leqslant\Delta t^*\) et \((t_n=n\Delta t)_{n\geqslant0}\)
- \((y_n)_{n\geqslant0}\) donnée par le schéma d'Euler
Alors, pour tout \(T\leqslant T_{max}\), il existe \(C_{T,F}\) telle que : $$\max_{n\geqslant0,t_n\leqslant T}\lvert Y(t_n)-y_n\rvert\leqslant C_{T,F}\Delta t$$
(Problème de Cauchy)
La méthode numérique est dite convergente si $$\varepsilon(\Delta t)=\max_{0\leqslant n\leqslant N}\lvert e_n\rvert\underset{\Delta t\to0}\longrightarrow0$$
La méthode numérique est dite d'ordre \(p\) s'il existe \(C_{F,T}\) tel que : $$\varepsilon(\Delta t)\leqslant C_{F,T}\Delta t^p$$
